À quelle puissance faut-il élever un nombre (q) pour obtenir un autre nombre (x)?
Le théologien, physicien, astronome et mathématicien John Napier (Neper) a introduit le concept des logarithmes pour résoudre cette question.
Le problème consiste à isoler la variable y dans l'équation qy = x.
La solution s’écrit y = logq(x) et s’énonce ainsi : y est le logarithme en base q de x.
Deux égalités (qy = x et y = logq(x)) traduisent une même relation entre trois nombres : x (résultat de la puissance), y (exposant) et q (nombre élevé à la puissance, appelé base).
Le logarithme de base 10 est le logarithme décimal, noté log(x).
Le logarithme de base e est le logarithme népérien, noté ln(x).
Exemples :
• Calculer log3(81) :
À quelle puissance faut-il élever le nombre 3 pour obtenir 81?
3×3×3×3 = 81 ⇨ 34 = 81 d’où log3(81) = 4 : le logarithme en base 3 de 81 est 4.
• Calculer log2(64) :
À quelle puissance faut-il élever le nombre 2 pour obtenir 64?
2×2×2×2×2×2 = 64 ⇨ 26 = 64 d’où log2(64) = 6 : le logarithme en base 2 de 64 est 6.
• log(100) = 2 :
Il faut élever le nombre 10 au carré pour obtenir 100 (ici le logarithme est décimal).
• Et log100(1)?
À quelle puissance faut-il élever le nombre 100 pour obtenir 1?
100y = 1 ⇨ 1000 = 1 ⇨ log100(1) = 0 : le logarithme en base 100 de 1 est 0.
Tout nombre q élevé à la puissance 0 vaut 1 : le logarithme de 1 est toujours nul, quelle que soit sa base (logq(1) = 0).