WEBVTT 1 00:00:00.806 --> 00:00:04.337 Une homothétie est une transformation géométrique 2 00:00:04.337 --> 00:00:08.476 qui agrandit ou réduit une figure en conservant ses proportions. 3 00:00:09.107 --> 00:00:13.755 Elle se caractérise par un centre O et un rapport d’homothétie k. 4 00:00:15.191 --> 00:00:21.455 Soient O un point quelconque du plan et k un nombre réel strictement positif. 5 00:00:22.173 --> 00:00:29.284 L’homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M du plan en un point M’ 6 00:00:29.268 --> 00:00:38.678 tel que O, M et M’ soient alignés, et que la distance OM’ soit égale à k fois la distance OM. 7 00:00:39.505 --> 00:00:47.256 M’ est l’image de M. Si k =1, M’ est confondu avec M. 8 00:00:48.184 --> 00:00:54.784 L’homothétie de rapport 1 est la transformation identité. Tous les points du plan sont invariants. 9 00:00:54.958 --> 00:00:58.398 Si M est confondu avec le centre d’homothétie O, 10 00:00:58.397 --> 00:01:04.393 alors son image M’ est confondue avec O, quelle que soit la valeur de k. 11 00:01:04.611 --> 00:01:09.362 Le centre de l’homothétie O est un point invariant pour tout k. 12 00:01:10.754 --> 00:01:13.926 Soient A et B deux points distincts du plan, 13 00:01:13.926 --> 00:01:19.059 A’ et B’ leur image par l’homothétie de centre O et de rapport k. 14 00:01:19.646 --> 00:01:29.643 Les segments [AB] et [A’B’] sont parallèles et la distance A’B’ est égale à k fois la distance AB. 15 00:01:30.644 --> 00:01:33.991 L’image d’une droite est une droite parallèle. 16 00:01:34.361 --> 00:01:43.560 Si la droite (AB) passe par le centre d’homothétie O alors son image (A’B’) est confondue avec (AB). 17 00:01:44.126 --> 00:01:48.868 Une homothétie conserve la mesure des angles et leur orientation. 18 00:01:50.326 --> 00:01:57.055 L’image par homothétie d’un cercle de centre C et de rayon r est le cercle de centre C’, 19 00:01:57.055 --> 00:02:02.345 image de C, et de rayon r’ égal à k fois r. 20 00:02:04.347 --> 00:02:08.738 L’image d’un quadrilatère est un quadrilatère de même nature. 21 00:02:10.805 --> 00:02:16.446 Si k est plus grand que 1, l’homothétie de rapport k agrandit la figure. 22 00:02:16.881 --> 00:02:22.342 Si k est égal à 1, l’image se confond avec la figure initiale. 23 00:02:22.821 --> 00:02:27.108 Si k est plus petit que 1, l’image est réduite. 24 00:02:27.434 --> 00:02:32.066 Si k est négatif, la figure image change d’orientation. 25 00:02:32.066 --> 00:02:38.422 Le cas particulier k = -1 correspond à la symétrie centrale de centre 0. 26 00:02:38.422 --> 00:02:42.365 En conclusion, une homothétie ne conserve pas les distances. 27 00:02:42.359 --> 00:02:45.364 Elles sont multipliées par la valeur absolue de k. 28 00:02:45.350 --> 00:02:49.069 Il en est de même pour le périmètre de la figure image. 29 00:02:50.042 --> 00:02:57.023 L’aire de la figure image est égale à l’aire de la figure initiale multipliée par k au carré. 30 00:02:58.121 --> 00:03:05.085 De la même façon, le volume V’ d’un objet image est égal au volume V de l’objet initial 31 00:03:05.085 --> 00:03:08.605 multiplié par le cube de la valeur absolue de k.